#15 虚根の数え上げ、そして代数閉体へ（前編）

これまでは代数的実数について扱ってきたが、（複素数の範囲での）代数的数も考えよう。 #0 に書いたように、代数的数 \(\overline{\mathbf{Q}}\) も計算機で正確に取り扱える。

代数的数の表し方と四則演算

計算機で複素数を扱う場合は、実部と虚部の組で表すのが普通だろう。 代数的数の場合も、 i. 代数的実数を2つ使って実部と虚部を表す、という手がある。 あるいは、実数の場合に「多項式と、分離区間」としていたのを拡張し、 ii. 「多項式と、根を分離する（複素平面上の）長方形」の組として表す、という手もある。

1. 実部の最小多項式、実部の分離区間、虚部の最小多項式、虚部の分離区間
2. 最小多項式、分離領域（長方形など）

もちろん、どちらの方法でも同じ代数的数を表すことができ、相互変換も可能である：

実部と虚部、複素共役

代数的数 \(\alpha\) の実部 \(\operatorname{Re}\alpha\), 虚部 \(\operatorname{Im}\alpha\), 複素共役 \(\overline{\alpha}\) をどのように表せるか考えよう。 \(\alpha\) の最小多項式を \[f(x)=a(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)\in\mathbf{Z}[x]\] とする。

まず、複素共役 \(\overline{\alpha}\) の最小多項式は \(f\) 自身である。 \(f\) の係数が実数であるから \(\overline{\alpha}\) は \(f\) の根となるし、 \(f\) は \(\mathbf{Z}\) 上既約なのでそれが最小多項式である。 \(f\) の根は実軸に関して対称に存在するので、分離領域については、単純に虚部の符号を反転させれば良い。

実部 \(\operatorname{Re}\alpha=\frac{\alpha+\overline{\alpha}}{2}\) は \[ \begin{aligned} F(x)&=2^{n^2}a^{n}\prod_{i,j}\left(x-\frac{\alpha_i+\alpha_j}{2}\right) \\ &=\operatorname{res}_y\Bigl(f(y),2^n\prod_j\left(x-\frac{y+\alpha_j}{2}\right)\Bigr) \\ &=\operatorname{res}_y\Bigl(f(y),\prod_j(2x-y-\alpha_j)\Bigr) \\ &=\operatorname{res}_y(f(y),f(2x-y)) \end{aligned} \] の実根となる。

\(f\) の根 \(\alpha_i\) は全て \(F\) の根でもある。 従って、\(F\) は \(f\) で割り切れる。 \(i\ne j\) の場合、 \(\frac{\alpha_i+\alpha_j}{2}\) は \(F\) の重根である。 従って \(F/f\) は平方、つまりある多項式 \(g\) について \(F/f=g^2\) と書ける。

虚部 \(\operatorname{Im}\alpha=\frac{\alpha-\overline{\alpha}}{2\sqrt{-1}}\) は \[ \begin{aligned} G(x)&=(-2\sqrt{-1})^{n^2}a^{n}\prod_{i,j}\left(x-\frac{\alpha_i-\alpha_j}{2\sqrt{-1}}\right) \\ &=\operatorname{res}_y\Bigl(f(y),(-2\sqrt{-1})^n a\prod_j\left(x-\frac{y-\alpha_j}{2\sqrt{-1}}\right)\Bigr) \\ &=\operatorname{res}_y\Bigl(f(y),a\prod_j(-2\sqrt{-1}x+y-\alpha_j)\Bigr) \\ &=\operatorname{res}_y(f(y),f(y-2\sqrt{-1}x)) \end{aligned} \] の実根となる。

多項式 \(\operatorname{res}_y(f(y),f(y-2\sqrt{-1}x))\) の係数は複素数となる。 複素数係数多項式の実根というのは、実部 \(\operatorname{Re}G\) と虚部 \(\operatorname{Im}G\) に共通する根である。 計算には、 \(\gcd(\operatorname{Re}G, \operatorname{Im}G)\) の根を計算すれば良い。

\(G\) の定義で積を取っているが、 \(i=j\) の場合は \(\frac{\alpha_i-\alpha_j}{2\sqrt{-1}}=0\) である。 そのため、\(G(x)\) は \(x^n\) で割り切れる。 \(i\ne j\) の場合を考えると、 \(G(x)/x^n\) は \[ \left(x-\frac{\alpha_i-\alpha_j}{2\sqrt{-1}}\right)\left(x-\frac{\alpha_j-\alpha_i}{2\sqrt{-1}}\right) =x^2-\left(\frac{\alpha_i-\alpha_j}{2\sqrt{-1}}\right)^2 =x^2+\left(\frac{\alpha_i-\alpha_j}{2}\right)^2 \] の積で書ける。 よって、 \(G(x)/x^n\) は \(x^2\) についての多項式として書けるはずである。

代数的数の演算

代数的数に関する基本的な演算（四則演算）について考えよう。

代数的数を代数的実数の組（実部、虚部）で表す場合は、すでに実装した代数的実数の四則演算を利用して、 \[ \begin{aligned} (x+\sqrt{-1}y)\pm(x'+\sqrt{-1}y')&=(x\pm x')+\sqrt{-1}(y\pm y'), \\ (x+\sqrt{-1}y)(x'+\sqrt{-1}y')&=(xx'-yy')+\sqrt{-1}(xy'+yx'), \\ \frac{1}{x+\sqrt{-1}y}&=\frac{x-\sqrt{-1}y}{x^2+y^2} \end{aligned} \] とすれば良い。

代数的数を最小多項式1個と分離領域で表す場合、 #3, #6 で見たのと同じように、終結式を使って最小多項式を計算する方法を使える。 分離領域に関しては、区間演算および計算可能実数の複素数バージョンを実装すれば良い。 （こちらは、単に実部と虚部を区間・計算可能実数で表すので良いだろう）

代数的数を係数とする多項式の根

代数的数の四則演算はすでに述べた方法で実装できる。 代数的数が代数閉体 (algebraically closed field) であるためには、あとは「代数的数を係数とする多項式の根を求める」操作が必要である。

この問題は、前回のように終結式を繰り返し使えば、多項式の係数から代数的数を消去し、「整数係数多項式の根を求める」問題に帰着できる。

与えられた（整数または代数的実数係数の）多項式の「実」根を列挙するアルゴリズムは、 #2 と #14 でそれぞれ取り上げたが、今回は複素数の範囲での根を全て求めたい。 そのための考えられる方針は2つある：

方針1：\(f(x+\sqrt{-1}y)=0\) を、 \(x,y\) についての実2変数連立方程式とみなして解く。

方針2：複素数の領域についてのスツルムの定理の一般化を考え、複素数の範囲で根を絞り込む。

順番に見ていこう。

方針1：実2変数連立方程式

実2変数の実数値関数 \(u\), \(v\) を \[\begin{aligned} u(x,y)&:=\operatorname{Re}f(x+\sqrt{-1}y), \\ v(x,y)&:=\operatorname{Im}f(x+\sqrt{-1}y) \end{aligned}\] と置く。\(f\) が多項式なので、 \(u\), \(v\) は2変数の多項式である。

解きたい方程式は \[\begin{aligned} u(x,y)&=0, \\ v(x,y)&=0 \end{aligned}\] であるが、我々がこれまで実装してきたのは「1変数の方程式を解く」操作である。 そこで、この連立方程式を1変数の方程式に帰着させよう。

\(y\) を固定した時の \(u(x,y)=0\) の根を（重複を込めて） \(x=\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) とする。 すると、 \(v\) にこの根を代入したものの積 \(v(\alpha_1,y)v(\alpha_2,y)\cdots v(\alpha_n,y)=\prod_{i=1}^n v(\alpha_i,y)\) は、終結式により \[\operatorname{res}_x(u(x,y),v(x,y))\] と書ける。 これは \(y\) についての一変数多項式なので、これまでの方法で実根を計算できる。

そうして計算した根 \(y=\beta_1,\ldots,\beta_m\) のそれぞれを \(u\) に代入すれば、 \(x\) についての一変数多項式が得られるので、それを解けば良い。

方針1はこれまでの知識を少し応用すればできるが、代数的数の大事な性質を失っているように思えてならない。 そのため、今後はもっぱら、方針2を考えていく。

方針2：虚根の数え上げ

実根の分離区間というものは、2個の実数（有理数）を指定すれば決まってしまう。 しかし、複素数の範囲になると、根を分離するのは領域（連結開集合）であり、様々な形状がありうる。

問題としては、単純（つまり、自分自身と交わらない）閉曲線 \(C\) を考え、それが内側に見る領域に含まれる根の個数を決定したい。

そのためにまず、「一般 Sturm 列」と「回転数」の概念を準備しておく。

一般 Sturm 列

#2 で見た Strum 列は、多項式 \(f\) とその微分 \(f'\) から始まった。 その定義を変え、はじめの2つ \(f_0\), \(f_1\) がより一般の実係数多項式であるような列を考えよう。

• \(f_0\) と \(f_1\) は共通の実根を持たない
• \(1\le i\) について \(f_{i-1}=q_i f_i-f_{i+1},\ \deg f_{i+1}<\deg f_i\) （つまり、 \(f_{i+1}\) は \(f_{i-1}\) の \(f_i\) による剰余の符号を逆転させたもの）
• \(f_{l+1}=0\)

この時、以下が成り立つ：

• \(f_i\) と \(f_{i+1}\) は共通の実根を持たない。特に、 \(f_l\) は符号が一定である。
• 実数 \(a\) について \(f_i(a)=0\) であれば、 \(f_{i-1}(a)f_{i+1}(a)<0\) である。

（例によって \(f_i\) の正の実数倍は関係ないので、符号さえどうにかすれば、好きな多項式剰余列で考えて良い）

この多項式列 \(\{f_0,f_1,\ldots,f_l\}\) を一般 Sturm 列と呼ぶことにする。 （一般化されたものも単に「Sturm 列」と呼んでもいいかもしれない）

\(f_0\) の実根 \(\alpha\) について、整数 \(\chi(f_0,f_1;\alpha)\) を

• \(f_0(x)/f_1(x)\) の符号が \(x=\alpha\) の前後で変わらないならば、 \(\chi(f_0,f_1;\alpha)=0\)
• \(f_0(x)/f_1(x)\) の符号が \(x=\alpha\) の前後で \(-\) から \(+\) に変わるならば、 \(\chi(f_0,f_1;\alpha)=+1\)
• \(f_0(x)/f_1(x)\) の符号が \(x=\alpha\) の前後で \(+\) から \(-\) に変わるならば、 \(\chi(f_0,f_1;\alpha)=-1\)

と定義する。 \(f_0,f_1\) が文脈から明らかならば、 \(f_0,f_1\) を省略して単に \(\chi(\alpha)\) と書くことにする。

幾何学的な説明を試みるなら、平面上で、 \(x\) で径数づけ(パラメトライズ)された曲線 \((f_0(x),f_1(x))\) を考えるのが適当だろう。 曲線が第1象限と第2象限、第3象限と第4象限を行き来する際、整数 \(\chi\) の割り当て方は次のようになる：

図の中の \(V\) は、それぞれの象限における実数列 \(\{f_0(x),f_1(x)\}\) の符号の変化の数を表す。

準備が済んだところで、 Sturm の定理の一般化をしよう。 Sturm の定理は実根の個数を数えるものだったが、その一般化は整数 \(\chi\) の総和を数える。

#2 で見た Sturm の定理は、 \(f_1=f_0'\) という特殊な場合であった。 #2 の \(f_1=f_0'\) の場合と、今回の一般化された場合を比較すると、

• \(f_1=f_0'\) の場合は \(\chi(\alpha)=1\) の場合しかありえなかったが、一般化すると \(\chi(\alpha)=0,-1\) の場合が出てくる
• \(f_1=f_0'\) の場合は \(f_0\) と \(f_1\) が互いに素という条件から \(f_0\) が重根を持たないことが言えたが、一般化するとそうではなくなる
• \(f_1=f_0'\) の場合は端点に \(f_0\) の根がある場合でも定理の主張を半開区間 \((b,c]\) に拡張できたが、一般化すると一筋縄では行かなくなる

となる。

#2 での Sturm の定理を今回の一般化された枠組みで捉えるために、多項式とその微分から始まる Sturm 列がどうなるか見てみよう。 多項式 \[f(x)=3x^{5}-45x^{4}+214x^{3}-282x^{2}-217x^{1}+327\] について \((f(x),f'(x))\) をプロットすると次のようになる：

多項式とその微分 \(f,f'\) から始まる Sturm 列について、整数 \(\chi\) は常に \(+1\) となることが見て取れる。 従って、その和は \(f\) の実根を単純に数えたもの（= 3 個）と一致する。

余談：Cauchy 指数

関連する概念として、 Cauchy(コーシー) 指数というものがあるようなので、一応触れておく。

（TODO: 「とある有理関数のコーシー指数(インデックス)」のロゴを作る）

実係数有理関数 \(f\) と実数の区間 \((a,b)\) について、区間の端点は \(f\) の極ではないとする。 この時、区間 \((a,b)\) における Cauchy 指数 (Cauchy index) \(I_a^b f\) を、区間内の極における \(\iota\) の総和と定める： \[ I_a^b f:=\sum_{\begin{array}{c}\scriptstyle\alpha\in(a,b),\\\scriptstyle\alpha\text{ is a pole of }f\end{array}} \iota(\alpha). %I_a^b f:=\sum_{\substack{\alpha\in(a,b),\\\alpha\text{ is a pole of }f_0}} \iota(\alpha). \]

ただし、 \(f\) の極 \(\alpha\) について、整数 \(\iota(\alpha)\) は次のように定める：

• \(f\) が \(\alpha\) において \(-\infty\) から \(+\infty\) に跳ぶ、つまり \[ \lim_{x\to \alpha-0} f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to \alpha+0} f(x)=+\infty \] となる場合、 \(\iota(\alpha)=+1\).
• \(f\) が点 \(\alpha\) において \(+\infty\) から \(-\infty\) に跳ぶ、つまり \[ \lim_{x\to \alpha-0} f(x)=+\infty, \quad \lim_{x\to \alpha+0} f(x)=-\infty \] となる場合、 \(\iota(\alpha)=-1\).
• それ以外の場合は \(\iota(\alpha)=0\).

Cauchy 指数は、一般 Sturm 列により計算できる。 有理関数 \(f\) を互いに素な多項式 \(g\), \(h\) を使って \[f=\frac{h}{g}\] と表したとする。 \(f\) の極はすなわち \(g\) の根であるから、先ほどの記号を使えば \(\iota(\alpha)=\chi(g,h;\alpha)\) である。 よって、 Cauchy 指数は、一般 Sturm 列の符号の変化の数 \(V(g,h;t)\) を使い、 \[I_a^b f=V(g,h;a)-V(g,h;b)\] と計算できる。

なお、 \(a\) や \(b\) が \(\pm\infty\) の時も Cauchy 指数を定義できる。

回転数

\(a\) を複素平面の点とし、閉曲線 \(C\) は \(a\) を通らないとする。 この時、曲線 \(C\) は \(a\) の周りを「何周か」している。 この「何周か」という整数を、 \(a\) に関する \(C\) の回転数（winding number; 直訳は「巻き数」だろうか）と呼び、 \(n(C,a)\) で表す。 曲線の向きに関しては、正の向き（反時計回り）の巻きつきを正の整数で表し、負の向き（時計回り）の巻きつきを負の整数で表す。

例えば、曲線1は原点の周りを「2周」しているというのは直観的に明らかだろう。 したがって曲線1の原点に関する回転数は 2 である。

曲線2は少々複雑だが、進んで戻った分を相殺すれば、結局は原点の周りを「1周」しかしていない。 したがって曲線2の原点に関する回転数は 1 である。

一方、曲線3は原点の周りを巻きついていない。 これは「0周」していると呼ぶべきだろう。 つまり、曲線3の原点に関する回転数は 0 である。

「何周か」という定義はあまりにもふわふわしているので、より厳密な定義を考えよう。 曲線上の点を点 \(a\) から見た時の角度（偏角） \(\arg(C(t)-a)\) を符号を込めて考え、偏角の変化 \(\Delta\arg(C(t)-a)\) の総和を考える。 曲線が閉じていることから、この値は \(2\pi\) の整数倍となるはずで、その「何倍か」の整数が先の「何周か」に対応していると考えられる。

残念ながら偏角 \(\arg\) を（原点を除いた）複素平面全体でうまく定義することはできず、普通はどこか（典型的には、負の実軸）に切れ込みを入れた分枝(ブランチ)を考える。 すると、その部分で \(\arg(C(t)-a)\) の値がジャンプしてしまい、 \(\Delta\arg(C(t)-a)\) の和は結局 0 となる。 これでは、回転数は得られない。

この辺の詳細は複素解析の教科書を参照してほしいが、ざっくり言うと、 \(\frac{1}{z-a}\) の積分 \[\int_C\frac{dz}{z-a}\] は \(2\pi\sqrt{-1}\) の整数倍となる。 そして、それを利用して回転数を定義する： \[n(C,a):=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_C\frac{dz}{z-a}.\]

回転数と複素関数の零点

回転数と多項式の根の関係を見ていこう、と言いたいところだが、せっかくなので「多項式の根」を「複素関数の零点」に一般化して考える。

単純閉曲線 \(C\) の上と内部で正則な関数 \(f\) を考える。 ただし、 \(C\) の上では \(f\) は零点を持たないとする。 \(C\) の内部には重複を込めて \(n\) 個の零点 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) があるとして、 \(f\) を \[f(z)=(z-\alpha_1)\cdots(z-\alpha_n)g(z)\] と書く。 ただし、 \(g\) は \(C\) の上と内部で 0 にならない正則関数である。 このとき、\(f\)の対数微分を \(C\) に沿って積分したもの \[\int_C \frac{f'(z)}{f(z)}dz\] を考えよう。

まず、 \(f\) の微分は \[f'(z)=\sum_{i=1}^n (z-\alpha_1)\cdots(z-\alpha_{i-1})(z-\alpha_{i+1})\cdots(z-\alpha_n)g(z)+(z-\alpha_1)\cdots(z-\alpha_n)g'(z)\] なので、 \[\frac{f'(z)}{f(z)}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{z-\alpha_i}+\frac{g'(z)}{g(z)}\] である。 これを積分すれば、回転数の定義より \[\begin{aligned} \int_C \frac{f'(z)}{f(z)}dz &=\sum_{i=1}^n \int_C \frac{dz}{z-\alpha_i}+\int_C \frac{g'(z)}{g(z)}dz \\ &=2\pi\sqrt{-1}\sum_{i=1}^n n(C,\alpha_i) \end{aligned}\] となる。 ただし、 \(\frac{g'(z)}{g(z)}\) は \(C\) の上と内部で正則なので、 Cauchy の定理より積分値が 0 となる。

一方、 \(f\) による \(C\) の像 \(w=f(C(t))\) を考えればこれも複素平面上の閉曲線で、積分の変換公式を使えば \[\int_C \frac{f'(z)}{f(z)}dz=\int_{f(C)} \frac{dw}{w}=2\pi\sqrt{-1}n(f(C),0)\] となる。

よって、回転数についての等式 \[n(f(C),0)=\sum_{i=1}^n n(C,\alpha_i)\] が言えた。 さらに、 \(C\) が単純閉曲線と仮定しているので、この右辺の \(n(C,\alpha_i)\) は全て 1 である。 よって、 \(n(f(C),0)\) は \(C\) の内部での \(f\) の零点の（重複度を込めた）個数である。

関連して、偏角の原理 (the argument principle) を紹介しておく：

この連載は複素解析入門ではない。 これ以上の詳しいことは複素解析の教科書を参照されたい。

回転数と Sturm 列

回転数を使えば多項式の根の個数が数えられることがわかったが、複素積分はあまり計算に便利ではない。 そこで、別の方法で回転数を計算することを考えよう。 以下、もっぱら原点に関する回転数を考える。

複素平面は、虚軸によって、2つの領域（半平面）に分けられる。 ここで考える曲線は原点を通らないと仮定しているので、虚軸の正の部分と負の部分に「関所」を作れば、曲線は左右の半平面を移動する際に必ず「関所」を通過する。 この「関所」を監視して、その際の向きを数えておけば、曲線が原点の周りを何回まわるかを正確に数えられる。

具体的には、 \(w=C(t)\) が \(w\) 平面の虚軸を通る際に

• 第1象限から第2象限に進む際は（正の向きなので）カウントを \(+1\)
• 第2象限から第1象限に戻る際は（負の向きなので）カウントを \(-1\)
• 第3象限から第4象限に進む際は（正の向きなので）カウントを \(+1\)
• 第4象限から第3象限に戻る際は（負の向きなので）カウントを \(-1\)

とすれば、曲線が原点の周りを正の向きに一周するごとにカウントが2増えるので、その総和が回転数の2倍となる。

この方法で、例示した曲線の回転数を数えてみよう。

まず、曲線1は虚軸と4箇所で交わり、いずれも正の向きに進んでいる。 よってカウントの総和は 4 で、回転数はその半分の 2 である。

次に、曲線2は虚軸と6箇所で交わり、正の向きが4箇所、負の向きが2箇所である。 よってカウントの総和は \(4-2=2\) で、回転数はその半分の 1 である。

曲線3は虚軸と4箇所で交わり、正の向きが2箇所、負の向きが2箇所である。 よってカウントの総和は \(2-2=0\) で、回転数はその半分の 0 である。

このように、虚軸との交わり方によって回転数を計算できることがわかった。

曲線が多項式で表される場合に回転数を数える方法を、一般 Strum 列を使って表しておこう：

一般 Sturm 列に対して定義した整数 \(\chi\) と、回転数を数えるために定義した整数は、符号が逆になっていることに注意されたい。

「\(C\) は原点を通らない」と仮定しているが、具体的な曲線 \(C\) に対してこの仮定が成り立つかどうかは、 \(u\) と \(v\) の GCD が実根を持つかどうかをチェックすれば確かめられる。

より一般に、曲線が「区分的に」多項式で表される場合は次のようになる：

回転数というと位相的(トポロジカル)な量で、代数的な計算はしづらいのではと思うかもしれないが、扱う曲線が多項式や有理関数であれば、一般 Sturm 列を使うことで正確に数えることができるのだ。

これまでのまとめとして、「曲線で囲まれた領域における多項式の根の個数」を与える方法を、定理の形で述べておこう。

しかし、この定理がそのまま利用できるとは限らない。 以下、具体的な領域について、多項式の根の個数を数える方法を考えていこう。

ケース1：半平面における根の個数

まず、半平面における根の個数を考えよう。 実軸で区切られた半平面（上半平面、下半平面）に関して、次の結果が成り立つ：

この定理は上半平面と下半平面に関する主張だが、左半平面（実部が負）と右半平面（実部が正）に関するバージョンもあり、それは Routh-Hurwitz の定理と呼ばれている。

（さっきまでの議論では閉曲線を対象としていたのに、この例の境界（実軸）は閉曲線ではない。最初の例なのに！）

通常の単純閉曲線で囲まれた領域の場合は根の個数は \(V\) の差の半分で与えられたが、この定理の \(N\) の表し方では、 \(V\) の差に、さらに \(n\) が加わっている。 これは \(f\) が無限遠点 \(z=\infty\) で \(n\) 位の極を持つことと関連づけて考えることもできそうだが、ここでは深く立ち入らない。

ケース2：円の内部における根の個数

\(f\) を複素数係数の \(n\) 次多項式とし、中心 \(z_0\), 半径 \(r\) の円周上には \(f\) の根はないとする。 この時、円の内部にある \(f\) の根の個数を知りたい。

まず、中心 \(z_0\), 半径 \(r\) の円のパラメーター表示は、 \[c(t)=z_0+r\cdot\frac{(1-t^2)+2\sqrt{-1}t}{1+t^2}\quad(-\infty\le t\le\infty)\] で与えられる。

\(c\) は多項式ではなく有理関数なので、合成 \(f(c(t))\) も有理関数となるが、 \(f(c(t))\) に \((1+t^2)^n\) を掛ければ多項式となる。 \((1+t^2)^n\) は常に正の実数なので、 \(f(c(t))\) と \((1+t^2)^nf(c(t))\) の偏角は等しく、特に \(t\) を動かした時の回転数も等しい。 よって、 \(f(c(t))\) の代わりに \((1+t^2)^n f(c(t))\) の回転数を数えれば良い。

というわけで \((1+t^2)^n f(c(t))\) の実部と虚部をそれぞれ \(u(t)\), \(v(t)\) とおき、 \(u\), \(v\) から始まる Sturm 列の符号の変化の数を \(V(u,v;t)\) とする。 \[u(t)+\sqrt{-1}v(t)=(1+t^2)^n f\Bigl(z_0+r\cdot\frac{1-t^2+2\sqrt{-1}t}{1+t^2}\Bigr)\]

すると、円の内側における根の個数 \(N\) は \[N=\frac{V(u,v;\infty)-V(u,v;-\infty)}{2}\] で与えられる。

円のパラメーター表示と言ったら普通は「\(z_0+re^{i\theta}\)」という風に指数関数（三角関数）を使うものを思い浮かべるかもしれないが、有理関数でもパラメーター表示ができるというのがポイントである。

ケース3：長方形の内部における根の個数

\(f\) を複素数係数の \(n\) 次多項式とする。 長方形で囲まれた領域 \(\{z\mid a<\operatorname{Re}z<b,c<\operatorname{Im}z<d\}\) に \(f\) の根がいくつあるか考えよう。 例によって、長方形の辺の上には \(f\) の根はないものとする。

長方形の4つの辺を、それぞれ次のようにパラメトライズする： \[\begin{aligned} c_1(t_1)&=t_1+\sqrt{-1}c\quad(a\le t_1\le b), \\ c_2(t_2)&=b+\sqrt{-1}t_2\quad(c\le t_2\le d), \\ (-c_3)(t_3)&=t_3+\sqrt{-1}d\quad(a\le t_3\le b), \\ (-c_4)(t_4)&=a+\sqrt{-1}t_4\quad(c\le t_4\le d), \\ \end{aligned}\]

ただし、 \(c_3\) と \(c_4\) は、曲線上を進むにつれてパラメーター \(t\) が減るようにパラメトライズする。

長方形の周は、これらの和となる： \[C=c_1+c_2+c_3+c_4\]

それぞれの辺について

1. \(f(c_1(t_1))=f(t_1+\sqrt{-1}c)\) の実部 \(u_1\) と虚部 \(v_1\) から始まる Sturm 列を考え、その Sturm 列の符号の変化の数を \(V(u_1,v_1;t_1)\) とする。
2. \(f(c_2(t_2))=f(b+\sqrt{-1}t_2)\) の実部 \(u_2\) と虚部 \(v_2\) から始まる Sturm 列を考え、その Sturm 列の符号の変化の数を \(V(u_2,v_2;t_2)\) とする。
3. \(f(c_3(t_3))=f(t_3+\sqrt{-1}d)\) の実部 \(u_3\) と虚部 \(v_3\) から始まる Sturm 列を考え、その Sturm 列の符号の変化の数を \(V(u_3,v_3;t_3)\) とする。
4. \(f(c_4(t_4))=f(f(a+\sqrt{-1}t_4))\) の実部 \(u_4\) と虚部 \(v_4\) から始まる Sturm 列を考え、その Sturm 列の符号の変化の数を \(V(u_4,v_4;t_4)\) とする。

この時、 \[N=\frac{1}{2}\left( \begin{aligned} &V(u_1,v_1;b)-V(u_1,v_1;a) +V(u_2,v_2;d)-V(u_2,v_2;c) \\ &\quad+V(u_3,v_3;a)-V(u_3,v_3;b) +V(u_4,v_4;c)-V(u_4,v_4;d) \end{aligned} \right)\] が長方形の内側における根の個数を与える。

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予定では今回が（とりあえずの）最終回となるはずだったが、「虚根の分離」のトピックが予想外に重かったため、ここで一区切りとする。 次回こそは、虚根の分離と、代数的数の実装を行いたい。

参考文献

• L.V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd. ed., McGraw-Hill, 1979.
  • 複素解析の定番教科書。邦訳もある。
• 高木貞治 著「代数学講義 改訂新版」共立出版、1965年
• P. Henri, Applied and Computational Complex Analysis. Vol. 1. Power Series-Integration-Conformal Mapping-Location of Zeros, John Wiely & Sons, 1974.
• S. Basu, R. Pollack, M.-F. Roy, Algorithms in Real Algebraic Geometry, 2nd. ed., Springer, 2006.
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